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乡镇公务员行政职业能力测验数量关系:方程法求解容斥极值

容斥极值是容斥问题的一种,在行测考试中偶有考查。若未提前学习,该题型将比较耗时。其实,容斥极值问题比较简单,今天,中公教育就带大家一起看看。

一、基础知识

容斥问题是研究集合间交叉关系的一类计数问题。考试常考三者容斥,对应公式如下:

公式一:I=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C-A∩B∩C+M

公式二:I=A+B+C-属两者的-2×属三者的+M

注:I,全集;A、B、C,三个集合;A∩B,A与B的交集;A∩C,A与C的交集;B∩C,B与C的交集;A∩B∩C,A、B、C三者的交集;M,既不属于A也不属于B还不属于C的部分。

二、例题

【例1】某高校有学生120名,现在的体育选修课有三种选择:篮球、乒乓球、羽毛球。已知选篮球的同学有55名,选乒乓球的有60名,选羽毛球的有47名,而同时选择篮球和乒乓球的有23名,同时选择篮球和羽毛球的有19名,同时选择乒乓球和羽毛球的有22名,问三种都不选的至少有多少名同学?

A.4 B.3 C.9 D.6

【中公答案】B。解析:设选三种课程的同学有x名,三种都不选的有y名,根据容斥原理可得,55+60+47-23-19-22+x+y=120,化简得x+y=22,即y=22-x。要使y尽量小,则x应该尽量大,选三种课程的同学尽可能多,由题目可知,x也只能取题干中两两交集的最小值,即同时选择篮球和羽毛球的19名,此时y=3,故三种都不选的至少有3名同学。故本题选B。

【例2】一个班级组织跑步比赛,共设100米、200米、400米三个项目。班级有50人,报名参加100米比赛的有27人,参加200米比赛的有25人,参加400米比赛的有21人。如果每个人最多只能报名参加2项比赛,那么该班最多有多少人未报名参赛?

A.11 B.12 C.13 D.14

【中公答案】C。解析:设报名参加2项比赛的有x人,未报名参赛的有y人,根据题意两两之间交叉部分均为报名参加2项比赛的人。由容斥原理可得27+25+21-x+y=50,整理得y=x-23,若求y,则需x尽可能大,即报名参加2项比赛的人尽可能多,那么就让所有人都尽可能报名参加2项比赛,x,为(27+25+21)/2=36.5,取整数为36,此时y=36-23=13,故本题选C。

通过以上两个例题可以发现,容斥极值问题,本质上需要我们结合容斥问题的基本公式构建等量关系,再进行极限讨论,从而得到我们想要的结果。随着大家越来越熟练,也可逐渐省略列式过程,加油!

(责任编辑:李明)

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