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　　四、题型

　　我们现在来看看鸡兔同笼问题中常考的几种情况。

　　(一)基础题型：已知头数和腿数，求各自的数量

　　这是最基础的题型，大家可以尝试着分别用以上两种方法来试一下。

　　例题1：在同一个笼子中，有若干只鸡和兔，从笼子上看有40个头，从笼子下数有130只脚，那么这个笼子中装有兔、鸡各多少只?

　　【答案详解】方法一，利用假设法。假设全是鸡或全是兔，脚的总数必然要多或少，通过脚数与实际数之差，可以知道造成差的原因，于是知道应有多少只兔或应有多少只鸡。

　　设鸡求兔：

　　兔：(130-2×40)÷(4-2)=25

　　鸡：40-25=15

　　设兔求鸡：

　　鸡：(4×40-130)÷(4-2)=15

　　兔：40-15=25

　　方法二，利用方程法。设笼子中装有鸡、兔分别为x只、y只，则根据条件可得

　　x+y=40，2x+4y=130。 解得x=15，y=25。

　　(二)已知头数与腿数之差，求各自的数量

　　这类问题会告诉你，鸡和兔子一共有多少只，然后告诉你鸡的总腿数比兔多多少，或者少多少，然后让你来求鸡和兔子的数量。大家来看一下这道题，看看应该怎么来做。

　　例题2：鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28，问鸡与兔各几只?

　　【答案详解】方法一，假如再补上28÷2=14只鸡，那么鸡与兔脚数就相等，每只兔的脚数是每只鸡的脚数的2倍，则鸡的只数是兔的只数的2倍，所以

　　兔：(100+14)÷(2+1)=38只，

　　鸡：100-38=62只;

　　当然也可以去掉兔28÷4=7只，

　　兔：(100-7)÷(2+1)+7=38只，

　　鸡：100-38=62只。

　　方法二，任意假设一个数。

　　假设有50只鸡，就有兔100-50=50只。此时脚数之差是4×50-2×50=100，比28多了72，就说明假设的兔数多了、鸡数少了。为保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只(注意不是2)。因此要减少的兔数是：

　　(100-28)÷(4+2)=12只，

　　兔：50-12=38只。

　　鸡：50+12=62只。

　　方法三，方程法。

　　设鸡有x只、兔有y只，则

　　x+y=100，4y-2x=28，解得x=62，y=38。

　　(三)“三者同笼”问题

　　有时候大家觉得两种动物放在一起还不够复杂，这时候他们会把三种动物放在一起，然后让你们来求。大家来看看下面这道题：

　　例题3：蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，现在这三种小虫共18只，有118条腿和18对翅膀，蜘蛛、蜻蜓、蝉各几只?

　　A.5、5、8 B.5、5、7 C.6、7、5 D.7、5、6

　　【答案详解】这是一道三者同笼的“鸡兔同笼”问题。首先，蜻蜓和蝉都是6条腿，计算腿的数量时将它们作为一个整体考虑，假设全是6条腿的小虫，则可知蜘蛛的数量。

　　蜘蛛有(118-6×18)÷(8-6)=5只，那么蜻蜓和蝉共有18-5=13只。

　　再假设这13只都是蝉，则可知蜻蜓的数量。

　　蜻蜓有(18-1×13)÷(2-1)=5只，蝉有13-5=8只。

　　大家可以看出来，这类问题实际上还是把三种动物转化成两种动物来求。

　　“鸡兔同笼”问题的解法一般只适用于两类不同物体间的关系，而题目中涉及到三类不同的物体时，我们需要找到其中两类物体的共同点，把他们看成一个整体，从而把三类物体间的关系转化为两类物体间的关系。

　　(四)鸡兔同笼问题变形

　　大家再来看看这几道题，虽然没有鸡、没有兔子，但是他们还是鸡兔同笼问题。

　　例题4：有大小两个瓶，大瓶可以装水5千克，小瓶可以装水1千克，现在有100千克水共装了52瓶。问大瓶和小瓶相差多少个?

　　A.26个 B.28个 C.30个 D.32个

　　【答案详解】此题属于“鸡兔同笼”问题。利用假设法，假设都是装1千克水的小瓶，则共装水52千克，现在多装了100-52=48千克(即总量的差)，因为每差5-1=4千克(即单位量的差)就说明有一个大瓶，那么大瓶共有48÷4=12个，小瓶有52-12=40个，两者相差40-12=28个。

　　例题5：小明每天必须做家务，做一天可得3元钱，做得特别好时每天可得5元钱，有一个月(30天)他共得100元，这个月他有( )天做得特别好。

　　A.2 B.3 C.5 D.7

　　【答案详解】假设每天都得3元钱，那么他一个月应得30×3=90元，而实际得到100元，做得特别好时每天可多得5-3=2元，则这个月有(100-90)÷(5-3)=5天做得特别好。

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（责任编辑：李明）