【行测】数量关系之同余定理的应用

同余在考试的时候也会经常性的出现，它一般都是与整除思想相结合的，在备考的过程中要分清楚同余的几种情况，同余特性经常会与中国剩余定理混淆，所以在备考时要抓住两者的区别点，避免考试时出错。

1.同余概念

两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于m同余。

例：21÷4余1，17÷4余1，所以17和21对于4同余。

2.同余特性

（1）余数的和决定和的余数

例：23、16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1。

（2）余数的差决定差的余数

例：23，16除以5的余数分别是3和1，所以 23-16=7除以5的余数等于2，即两个余数的差3-1。

（3）余数的积决定积的余数

例：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

（4）余数的幂决定幂的余数。

例：求2012²⁰¹²÷5的余数。

一个2012除以5余2，根据余数的积决定积得余数，所以2012²⁰¹²÷5的余数和2²⁰¹²÷5的余数是一样的，又因为2²⁰¹²=16⁵⁰³，所以16÷5余1，所以2012²⁰¹²÷5的余数和1⁵⁰³÷5的余数一样，都为1。

【例题1】已知a除以2余1，那么2⁷a+2003²除以2余几？

A.1 B.2 C.3 D.4

【中公解析】2⁷是2的倍数，所以2⁷a是2的倍数，2003²除以2余1，则2⁷a+2003²除以2余0+1=1。答案选择A。

【例题2】今天是星期六，请问再过2010天是星期几？再过2010²⁰¹⁰天是星期几？再过2012²⁰¹²天是星期几？

【中公解析】2010除以7余1，故再过2010天是星期日。又根据余数的幂决定幂的余数，所以2010²⁰¹⁰除以7的余数与1²⁰¹⁰除以7的余数相同，因此2010²⁰¹⁰除以7的余数为1，所求为星期日。同理，根据余数的幂决定幂的余数，2012除以7余3，所以2012²⁰¹²除以7的余数与3²⁰¹²除以7的的余数相同，又因为3的平方为9，9除以7余数为2，3²⁰¹²=9¹⁰⁰⁶，所以最终的余数取决于2¹⁰⁰⁶ =8³³⁵ ×2=1³³⁵×2=2，即为2，所以所求为星期一。

同余特性的四条内容经常与中国剩余定理的四条混淆，所以考生要加强练习，避免考试出错。

（责任编辑：李明）