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部队文职考什么:容斥极值

来源:中公网校   发布时间:2021-05-17 10:07:00

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如何在有效的时间内减少计算量,选出正确选项,做题速度,是每个学员都面临的棘手问题。针对这一问题,中公教育研究与辅导专家提醒大家,掌握相应的解题技巧和解题公式能够帮助我们快速求解。本文以容斥极值问题为例,为大家讲解公式法在容斥极值问题当中的应用,希望通过以下题目的简单讲解能够让大家对公式法解决容斥极值问题有所了解,为大家备考提供帮助。

例题1

小明和小刚两人一起参加一次英语考试,已知考试共有100道题,且小明做对了68题,小刚做对了58题。问两人都做对的题目至少有几道题?

A.22 B.24 C.26 D.28

答案:C选项。中公解析:题干描述的是二者容斥极值问题,根据二者容斥解题公式:I=A+B-A∩B+M,代入数据,即:100=68+58-A∩B+M,整理得到A∩B=68+58-100+M,若想让两人都做对的题目尽可能的少,即A∩B尽可能小,则两人都没做对的题目要尽可能少,即M要尽可能小,M最小为0,则(A∩B)min=68+58-100=26,故C选项正确。

通过以上题目我们能够整理出二者容斥极值的解题公式,即:(A∩B)min= A+B-I,此公式可以直接应用到二者容斥交集最小值的求解中,方便我们快速求解容斥极值问题。

例题2

某中学初一年级共有620名学生参加期中考试,其中语文及格的有580名,数学及格的有575名,英语及格的有604名,以上三门功课都及格的至少有多少名同学?

A.575 B.558 C.532 D.519

答案:D选项。中公解析:题干描述的是三者容斥极值问题,求三者交集的最小值,我们可以先根据二者容斥极值公式求其中两者交集最小值,再把这两者交集的最小值看成一个集合与第三个集合求交集最小值。即,将语文、数学、英语及格的人数分别用集合A、B、C来表示,设语文和数学都及格的人数最少有X人,即(A∩B)min=X,再求X与英语及格人数C的交集最小值,根据二者容斥极值公式整理如下:

(X∩C)min=X+C-I=(A∩B)min+C-I= A+B-I+C-I= A+B+C-2I

则,(A∩B∩C)min = A+B+C-2I=580+575+604-2×620=519

故选择D选项。

通过以上两道题目整理出来的两个公式,相信大家对于容斥极值交集最小值问题计算公式有了一定的了解,同时也掌握了一定的规律,即:

集合交集最小值=各集合数值相加-(n-1)×I,n代表集合数,I表示全集;我们可以整理一下常考察的容斥极值问题计算公式:

二者容斥交集最小值:(A∩B)min= A+B-I

三者容斥交集最小值:(A∩B∩C)min = A+B+C-2I

四者容斥交集最小值:(A∩B∩C∩D)min = A+B+C+D-3I

在解决容斥极值问题时我们只需要记住相应的解题公式即可快速求解,下面再结合题目来熟悉一下容斥极值公式的运用。

例题3

玩具厂2014年第一季度有80%的人全勤,第一季度有85%的人全勤,第三季度有95%的人全勤,第四季度有90%的人全勤。该厂全年全勤的人最多占全厂人数的( ),最少占个厂的( ) 。

A.80%, 40% B.70%, 50%

C.80%, 50% D.70%, 40%

答案:C选项。中公解析:第一问,若想全勤人数占全厂最多,则第一季度的80%的人,在第二季度、第三季度、第四季度都全勤,此时全年全勤的人最多,占80%,即集合间交集值为所有集合中最小的集合数;第二问,根据容斥极值公式,最少占全厂的 80%+85%+95%+90%-100%×3=50%,故选择C选项。

中公寄语:相信通过以上3道题目的讲解,大家对公式法解决容斥极值问题已经有了一定的了解和掌握,在今后的备考过程中还需通过的做题来自己对公式的熟练程度,从而提高解题速度。由此可见,熟练掌握常用的解题公式能够帮助我们快速解决数量关系题目,因此,大家在今后的复习过程中要对基本解题公式有足够的了解,打好基础,同时掌握相应的解题技巧,从而提高备考效率。

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(责任编辑:耿晨晓)

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