容斥问题作为行测常型之一，相信各位备战的同学并不陌生。在容斥问题中有一种求容斥交集最小值的问题—这种问题也被称为容斥极值问题，该题选因为题型明晰、方法可操作性强一直可以成为各位同学拿分的必争之地。如何针对这一题型快速准确地选出答案?中公教育将带领大家以两种不同的容斥极值问题为例，一起学习容斥极值问题中两个重要的公式。

一、认识问题

【例1】某公司共80名职工，其中56名职工会法语,60名职工会德语，则两种语言都会的职工至少有( )人。

A.34 B.36 C.56 D.60

该例题中告诉了我们公司的总人数，同时告诉我们会法语的人数和会德语的人数，最后问我们两种语言都会的人至少有多少，也就是问我们两个集合交集的最小值。这种就是我们所说的容斥极值问题，而且题目中有两种集合，所以也被称为两者容斥极值问题

【例2】一个班48个人参加考试，语文及格的有36人，数学及格的有38人，英语及格的有40人，至少有多少人三门科目都及格?

A.12 B.14 C.16 D.18

该例题中告诉了我们参加考试的总人数，同时告诉我们语文及格的人数、数学及格的人数和英语及格的人数，最后问我们三门考试都及格的人至少有多少，也就是问我们三个集合交集的最小值。这种就是我们所说的容斥极值问题，而且题目中有三种集合，所以也被称为三者容斥极值问题

二、特征总结

结合上面两道例题，我想大家对于容斥极值问题的特征有了一定了解，在这里我们对题目特征进行一下系统总结，方便大家更好的与题目进行对应。

求解交集最小值的容斥极值问题题目特征：

已知集合总数，在题目给出各集合所包含数量之后，求解题目中所有集合交集最小值。

比如例1，告诉了我们公司的总人数，同时告诉我们会法语的人数和会德语的人数，最后问我们两种语言都会的人至少有多少;再比如例2，告诉了我们参加考试的总人数，同时告诉我们语文及格的人数、数学及格的人数和英语及格的人数，最后问我们三门考试都及格的人至少有多少。

三、公式透析

解决这类容斥极值问题，我们需要掌握对应的解题公式，具体如下：

二者容斥交集最小值：(A∩B)min= A+B-I;(其中A、B表示两个不同集合，A∩B表示A集合与B集合交集的部分，I表示全集)

三者容斥交集最小值：(A∩B∩C)min = A+B+C-2I;(其中A、B、C表示三个不同集合，A∩B∩C表示A集合、B集合、C集合三者交集的部分，I表示全集)

四、方法运用

对于两类公式具体的使用方法，我们结合上面的两道例题给大家看一下实际操作过程。

【例1】某公司共80名职工，其中56名职工会法语,60名职工会德语，则两种语言都会的职工至少有( )人。

A.34 B.36 C.56 D.60

【答案】B。解析：由题目条件可以将会法语的职工表示为集合A，会德语的职工表示为集合B，所求为两种语言都会的职工即A∩B最小值，利用公式(A∩B)min= A+B-I，所求最小值为56+60-80=36人，选择B项。

【例2】一个班48个人参加考试，语文及格的有36人，数学及格的有38人，英语及格的有40人，至少有多少人三门科目都及格?

A.12 B.14 C.16 D.18

【答案】D。解析：将语文及格的学生人数表示为集合A，数学及格的学生人数表示为集合B，英语及格的学生人数表示为集合C，题目所问至少有多少人三门科目都及格，即计算A∩B∩C最小值，根据公式(A∩B∩C)min = A+B+C-2I，三科及格的人数至少为36+38+40-2×48=18人。故本题选D。

四、方法总结

以上两个计算容斥极值问题的公式，形式上比较简单，但在使用中需要注意，对应好题目特征才能使用。如果题目中还给出其他限制条件时，需结合全集的计算公式进行分析。

通过以上两道题目的讲解，相信大家对代入公式解决这类容斥极值问题已经有了一定的了解。相信各位同学只要能够熟练掌握容斥极值的两个公式，以后再碰到这类问题一定能快速准确地选择出答案。同样需要提醒大家，在今后的备考过程中还需通过的做题来自己对公式的熟练程度，从而解题速度，同时掌握相应的解题技巧，备考效率。

（责任编辑：李明）