牛吃草问题，因由牛顿提出而得名，也有人称这一类问题叫做牛顿问题。我们通常将牛吃草问题归纳于行程问题当中，很多学生对于牛吃草问题不是特别清楚，所以今天我们就归纳一下牛吃草问题常考的形式。

一：基础模型

牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃多少天?

对于此类典型的牛吃草问题，我们的默认条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数地变化。

牛吃草问题的难点在于草每天都在生长，草的数量都在变化。解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量——每天新长出的草的数量。同时假设每头牛的速度为1，则牛头数可以表示牛吃草的速度。

二：基本公式?

1：原有草量=牛吃草的速度×吃的天数-草生长速度×吃的天数;

即：原草量=(牛1-X)×天1=(牛2-X)×天2=(牛3-X)×天3

2：吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);

3：牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速

其次在牛吃草问题中我们经常还有另外一种考察就是转换为追及问题，即有两个量使原有草量变小，一个是牛吃草的量，一个是其他原因使草减少的量。对于这样的问题我们知道，原有草量就是由于以上两个量而减少的，所以可以利用原有草量不变来列出等式。所以这类问题即我们所说的追及问题。路程和相当于原有草量，牛和另一个是草量减少的量即为两个相遇的分量。

4: 牛吃草极值问题?

在牛吃草问题中常考的就是牛吃草的极值问题，一般会这样去提问：问最多可供多少头牛吃草，并且永远吃不完。对于这种类型的题目，

关键是：牛吃草的速度=草生长的速度

这样才能牛数最多并且永远吃不完。

三：常见的牛吃草问题模型：

1：排队进门问题

例：某游乐场在开门前已经有人排队等待，开门后每分钟来的游人数是相同的，如果开放6个入口20分钟后就没有人排队，现在开放10个入口处，10分钟后就没有人排队，开4个入口，那么开门后几分钟就没人排队了?

解：入口相当于牛，人来的速度相当于草速，我们就可以用牛吃草问题公式来解，

原草量=(牛1-X)×天1=(牛2-X)×天2=(牛3-X)×天3

对应于：原来门外人数=(6-X)×20=(10-X)×10=(4-X)×T

通过前两个解出X，带入可解除天数。

2：河道沉沙问题

例：某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人连续开采10个月。如果要该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断的开采?(假定该河段河沙沉积的速度相对稳定)

解：人相当于牛，沉的速度相当于草速，我们就可以用牛吃草问题公式来解，

原草量=(牛1-X)×天1=(牛2-X)×天2=(牛3-X)×天3

对应于：原来河道沙子的量=(80-X)×6=(60-X)×10

可以解出X，牛速=草速是人最多。

3：渗水问题

有一个水池，池底有渗水。用5台抽水机20小时可将水抽完，

8台抽水机15小时可将水抽完。如果14台抽水机需多少小时可以抽完?

解：抽水机相当于牛，渗水的速度相当于草速，我们就可以用牛吃草问题公式来解，

原草量=(牛1-X)×天1=(牛2-X)×天2=(牛3-X)×天3

对应于：原来水池的水量=(5-X)×20=(8-X)×15=(14-X)×T

通过前两个解出X，带入可解除天数。另外我们没有必要关心水是往里面渗还是往外渗水，只不过公式算出的X可以为正可以为负数。

四：如果遇到草量不统一：

例如：有三块草地，面积分别为5，6和8公顷.草地上的草一样厚，而且长得一样快.第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天.问：第三块草地可供19头牛吃多少天?

分析：根据题意先把将三块草地的面积统一起来，变为典型的牛吃草的基本类型的题目，只要求出每天新长出的草以及草地原有草，就可以求出答案.

关键是：统一草量转化成标准的牛吃草问题。

解：我们可以把草地统一成120公顷，因为5公顷草地可供11头牛吃10天，120÷5=24，所以120公顷草地可供11×24=264(头)牛吃10天，因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6=20，所以120公顷草地可供12×20=240(头)牛吃14天.又因为120÷8=15，问题变为：120公顷草地可供19×15=285(头)牛吃几天?因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：“一块匀速生长的草地，可供264头牛吃10天，或供240头牛吃14天，那么可供285头牛吃几天?”设1头牛1天吃的草为1份，每天新长出的草有：(240×14-264×10)÷(14-10)=180(份)，草地原有草(264-180)×10=840(份)，可供285头牛吃840÷(285-180)=8(天).所以，第三块草地可供19头牛吃8天，

（责任编辑：李明）