物理题目中的临界与极值问题

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一、临界与极值概念

所谓物理临界问题是指各种物理变化过程中，随着条件的逐渐变化，数量积累达到一定程度就会引起某种物理现象的发生，即从一种状态变化为另一种状态发生质的变化(如全反射、光电效应、超导现象、线端小球在竖直面内的圆周运动临界速度等)，这种物理现象恰好发生(或恰好不发生)的过度转折点即是物理中的临界状态。与之相关的临界状态恰好发生(或恰好不发生)的条件即是临界条件，有关此类条件与结果研究的问题称为临界问题

从试题形式来看，有些直接在题干中常用“恰好”、“”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，要抓住这些特定的词语发掘其内含的物理规律，找出相应的临界条件。也有一些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，周密讨论状态的变化。可用极限法把物理问题或物理过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显性化;或用假设的方法，假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理;也可用数学函数极值法找出临界状态，然后抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。从以往试题的内容来看，对于物理临界问题的考查主要集中在力和运动的关系部分，对于极值问题的考查则主要集中在力学或电学等权重较大的部分。

二、常见临界状态及极值条件

解答临界与极值问题的关键是寻找相关条件，为了解题速度，可以理解并记住一些常见的重要临界状态及极值条件：

1.从长斜面上某点平抛出的物体距离斜面最远——速度与斜面平行时刻

2.物体以初速度沿固定斜面恰好能匀速下滑(物体冲上固定斜面时恰好不再滑下)—μ=tgθ。

3.两个物体同向运动其间距离(最小)——两物体速度相等。

4.加速运动的物体速度达到——加速度为零时的速度。

5.两接触的物体刚好分离——两物体接触但弹力恰好为零。

6.物体所能到达的最远点——直线运动的物体到达该点时速度减小为零(曲线运动的物体轨迹恰与某边界线相切)

7.木板或传送带上物体恰不滑落——物体到达末端时二者等速。

8.线(杆)端物在竖直面内做圆周运动恰能到圆周点—点绳拉力为零

9.渡河中时间最短——船速垂直于河岸，即船速与河岸垂直(相当于静水中渡河)。

10.受迫振动振幅恰好达——驱动力的频率与振动系统的固有频率相等。

11.粒子恰不飞出匀强磁场——圆形轨迹与磁场边界相切。

12.纯电阻负载时电源输出功率——内外电阻阻值相等。

13.滑动变阻器对称式接法中阻值达——滑至中点。

14.光从介质射向空气时恰不射出——入射角等于临界角。

15.带电粒子恰好被速度选择器选中(霍尔效应、等离子发电)——电场力与洛力平衡。

三、临界与极值问题一般解法

临界问题通常以定理、定律等物理规律为依据，分析所研究问题的一般规律和一般解的形式及其变化情况，然后找出临界状态，临界条件，从而通过临界条件求出临界值，再根据变化情况，直接写出条件。求解极值问题的方法从大的方面可分为物理方法和数学方法。物理方法即用临界条件求极值。数学方法包括：

(1)利用矢量图求极值

(2)用正(余)弦函数求极值

(3)导数法求解

一般而言，用物理方法求极值简单、直观、形象，对构建物理模型及动态分析等方面的能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学建模能力要求较高，若能将二者予以融合，则将相得亦彰，对增强解题能力大有裨益。

【例2】如图所示，物体A静止在光滑的水平面上，A的左侧跟一个轻质弹簧拴接在一起。物体B以速度v向着A运动并与弹簧发生作用但不会粘在一起，A、B和弹簧作用过程中始终沿同一直线运动。A、B和弹簧组成的系统势能时，下列判断正确的是( )

A.A的速度 B.B的速度最小

C.A和B的动能相等 D.A和B的速度相等

【答案】D。解析：试题分析：B与A发生碰撞的过程，B由于受到向左的弹力，并且随着弹簧的压缩程度变大大，弹力越来越大，所以B做加速度增大的减速运动，A受到向右的逐渐增大的弹力作用，所以A做加速度增大的加速运动，当二者共速时，弹簧压缩量，弹性势能，但是不知道两者的质量关系，所以A和B的动能不一定相等，C错误D正确;之后B由于还受到向左的弹力作用，所以仍要减速，A受到向右的弹力作用，A仍要加速，所以弹性势能时，A的速度不是，B的速度不是最小，AB错误;故选D。